Les indices de
Sensibilité


Dans cette section nous introduisons une méthode numérique qui assure la mise en oeuvre de ces indices de sensibilité dans le cas où le modèle de mesure f est relativement simple. En reprenant la formule de propagation des incertitudes :


(1)

Comme nous l’avons vu précédemment, la sensibilité de chaque grandeur d’entrée Xi est donnée par leur dérivée partielle ci = ∂f/∂Xi, avec c2i u2(Xi) qui est la part de variance due à la grandeur d’entrée Xi. La sensibilité d’une grandeur d’entrée peut être quantifiée par le rapport de la part de variance d’une grandeur d’entrée Xi sur la variance totale du mesurande Y, ainsi l’indice de sensibilité est donnée par :


(2)

Cette indice de sensibilité, appelée SRC (Standardized Regression Coefficient), permet une interprétation simple de la contribution de la grandeur d’entrée Xi dans le modèle. En effet, c2iu2(Xi) est la meilleure approximation de la mesurande Y sur l’espace engendré par Xi. Le ratio de c2iu2(Xi) par rapport à u2(Y) permet ainsi de comparer cette dispersion à celle du mesurande Y.

Pour illustrer ces termes de sensibilité, nous reprenons l’exemple du cylindre où nous avions les paramètres d’entrée R, h, ε1 et ε2. Nous récapitulons les données à partir du tableau du bilan d’incertitude de la section incertitude-type composée :


(3)

Les valeurs des indices de sensibilité sont donc données par :


(4)

A partir de ces valeurs, nous pouvons constater que l’incertitude du mesurande Vol est essentiellement liée à l’incertitude de la grandeur d’entré R car la sensibilité de l’incertitude du rayon du cylindre est prépondérante à 87.22 %. A partir de ces résultats, le métrologue va avant tout travailler sur la qualité de l’évaluation du rayon du cylindre s’il souhaite diminuer l’incertitude du volume du cylindre. Dans cet exemple, nous nous sommes essentiellement concentrés sur les sensibilités d’ordre 1. Ceci ne pose pas de problème puisque nous avons vu qu’à partir du plan de Morris, il n’y avait pas d’interaction entre les paramètres d’entrée. Dans le cas où nous souhaitons calculer la sensibilité des interactions 2 à 2, la formule de propagation des incertitudes sera développée à l’ordre 2 de la formule de Taylor :



(5)


La partie de gauche correspond à l’ordre 1 de la formule de propagation des incertitudes (formule développée en 1) et la partie de droite correspond à l’ordre 2. Par conséquent en reprenant l’équation 5 avec l’exemple du cylindre, la formule de propagation des incertitudes à l’ordre 2 donne l’incertitude-type composée du mesurande Vol :



(6)

Les coefficients de sensibilité de la formule de propagation des incertitudes sont donnés par :



(7)


Ainsi en reprenant les mêmes valeurs que précédemment avec l’exemple du cylindre, i.e. R = 13.53 cm, h = 15.32 cm, ε1 = ε2 = 0 et les incertitude-types u(R) = 0.06 cm, u(h) = 0.05 cm, u(ε1) = u(ε2) = 0.01/√3 nous obtenons comme incertitude-type composée pour le mesurande u(Vol) = 83.67 cm3. La valeur de l’incertitude à l’ordre 2 est pratiquement la même qu’à l’ordre 1, car les interactions dans ce calcul d’incertitude n’ont aucun effet sur le mesurande. Le plan de Morris a permis de montrer préalablement que le calcul des interactions n’était pas nécessaire. Les indices de sensibilité à l’ordre 1 (gauche) et 2 (droite) sont donnés par :



(8)


Nous pouvons constater que le développement et le calcul des sensibilités jusqu’à l’ordre 2 peut rapidement devenir complexe selon le modèle de mesure considéré, il devient encore plus délicat dans le cas où nous souhaitons mesurer les indices de sensibilité des interactions supérieurs à l’ordre 2. Dans nos travaux, nous avons une multitude d’interactions parmi les nombreuses grandeurs d’entrée et surtout nous n’avons aucune information sur l’expression du modèle de mesure f. Cette notion d’indice de sensibilité va être améliorée grâce aux principes de Sobol afin de contourner cette difficulté.

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