L'incertitude-type
Elargie


L’incertitude élargie s’obtient en multipliant l’incertitude-type composée uc(Y) par un facteur d’élargissement k nommé facteur de qualité :


(1)

Le résultat du mesurage exprimera alors le mesurande sous la forme Y = y ± U, où y est la meilleure estimation de la valeur attribuable au mesurande Y. Il y a alors une fraction de chance élevée p que la valeur attribuée soit dans l’intervalle ±U. Ce pourcentage de chance p est appelé le niveau de confiance de l’intervalle.

Le facteur de qualité k doit être systématiquement donné en même temps que l’incertitude élargie. Selon la densité de probabilité de la mesurande Y, le facteur k va nous permettre d’identifier ce niveau de confiance p. Cependant, la connaissance de la loi de probabilité de la mesurande Y est limitée et par conséquent le niveau de confiance p est quelque peu incertain lorsqu’on avoisine les 100% de chance. Généralement, la densité de probabilité en sortie est supposée de loi normale, ainsi le choix du facteur de qualité k nous donne tout de même une estimation du niveau de confiance p. Ces estimations sont données dans le tableau 1.

Tableau 1 - Choix des facteurs de qualité k selon le niveau de confiance p choisi pour exprimer l’incertitude élargie du mesurande.


Les valeurs d’incertitude élargie sont souvent données à k = 2 avec U = 2uc(Y) qui définit un intervalle ayant un niveau de confiance d’environ 95%. Pour des applications plus critiques, le facteur de qualité sera pris à k = 3 avec U = 3uc(Y) où l’intervalle aura cette fois-ci un niveau de confiance d’environ 99%. En reprenant l’exemple du cylindre, avec l’incertitude-type calculée à partir de l’équation 14 de la section précédente (uc(Vol)=83.67 cm3), l’expression de l’incertitude élargie du mesurande Vol est exprimée par :


(2)

Nous avons donc 95% de chance que le volume soit compris entre 8631.23 cm3 et 8989.91 cm3. Cet exemple a permis de montrer comment manipuler les calculs de variance et donner une expression de l’incertitude-type composée et élargie d’un mesurande. Cependant, dans le cas où ce cylindre serait étudié par un métrologue, le modèle mathématique deviendrait beaucoup plus complexe puisqu’ici le mesurage n’a pas été identifié correctement et une multitude de grandeurs d’entrée ont été omises, telles que les incertitudes sur : les dilatations du cylindre, les dilatations du pied à coulisse, la connaissance des coefficients de dilatation, la température dans le cylindre, la température dans le pied à coulisse, la sonde permettant de mesurer la température, la déformation du cylindre due à la force exercée par le pied à coulisse, la distance résiduelle entre les deux becs lors de la mise à zéro du pied à coulisse, les erreurs systématiques, etc.

Un mesurage peut devenir compliqué lorsqu’une description détaillée de la procédure de mesure est établie correctement (méthode des 5M comme présenté dans la section incertitude de mesure). Par ailleurs, le modèle mathématique peut aussi être défini par un système non linéaire. Lorsque la non-linéarité de f devient significative, il faut inclure des termes d’ordre plus élevé dans le développement en série de Taylor pour redéfinir l’équation de l’incertitude-type composée. Ceci va compliquer les calculs, où nous n’aurons plus de simples dérivées partielles de premier ordre mais des dérivées partielles de second ordre (∂2f /(∂X1∂X2)) ou plus.

Le niveau d’ordre élevé des dérivées partielles permet aussi de prendre en compte le cas où deux grandeurs d’entrée, ou plus, ont un impact sur la mesurande seulement lorsqu’elles sont en interaction entre elles. Les équations deviennent encore plus difficiles et laborieuses à mettre en place, sachant que dans le cas de l'AFM Virtuel nous avons plus de 140 grandeurs d’entrée prises en considération et que certaines grandeurs d’entrée sont en interaction entre elles. Une méthode va permettre de contourner cette difficulté, elle va à la fois prendre en compte toutes les interactions possibles entre les grandeurs d’entrée Xi, mais elle va aussi nous permettre de connaître parfaitement la loi de probabilité du mesurande et ainsi fournir une incertitude élargie sur n’importe quel intervalle de confiance choisi. Cette méthode est le complément 1 du GUM, elle fait appel à la méthode de Monte Carlo [1]. Son origine provient de la roulette de Monaco (Casino Monte Carlo), considérée comme un mécanisme propre à sortir des nombres au hasard [2].


[1] : 101 J 2008 Evaluation of measurement data – Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” — Propagation of distributions using a Monte Carlo method BIPM 1st ed
[2] : Metropolis N and Ulam S 1949 The monte carlo method Journal of the American Statistical Association 44 335–341

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